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    sinθ≈θ?不错!你不愧是学物理的!

    放大字体  缩小字体 发布日期:2025-05-01 11:59:32   浏览次数:5  发布人:56c2****  IP:124.223.189***  评论:0
    导读

    中学物理中,我们都学过单摆的周期公式它表明单摆以不同的幅度摆动时用时是一样的。这叫单摆的等时性。但老师告诉我们,单摆的等时性是有条件的:它的摆角应在 以内。概念提示:摆角是指单摆的摆线与竖直方向的夹角。为什么会有这样的要求呢?我们从单摆的动力学方程出发分析一下。单摆在切向受到重力的分力,摆球受此回复力在竖线左右来回摆动。设摆绳与竖线之间的夹角为 ,设向某一侧(左或右皆可)偏离时的角为正角,切向力总

    中学物理中,我们都学过单摆的周期公式

    它表明单摆以不同的幅度摆动时用时是一样的。这叫单摆的等时性。

    但老师告诉我们,单摆的等时性是有条件的:它的摆角应在 以内。

    概念提示:摆角是指单摆的摆线与竖直方向的夹角。

    为什么会有这样的要求呢?我们从单摆的动力学方程出发分析一下。

    单摆在切向受到重力的分力,摆球受此回复力在竖线左右来回摆动。

    设摆绳与竖线之间的夹角为 ,设向某一侧(左或右皆可)偏离时的角为正角,切向力总是与 的符号相反,则单摆的切向牛顿方程为

    故得

    这个方程怎么求解?

    这是一个非线性微分方程,求解非常困难,更重要的是,它的解没有周期性,不符合单摆周期运动的特点。

    当摆角 很小时,可认为 ,故可以将上面的方程化简为线性微分方程,即

    这种方程当然容易了,它的解可表示为

    其中 是单摆的振幅,即最大摆角;而角频率,根据三角函数的周期性的规律可知,振动的周期为

    可见,之所以单摆周期有这样的公式,是因为我们进行了一个近似计算,即认为单摆的摆角很小时,它的正弦等于角度本身。

    但这样做时,摆角应在多大的范围呢?是不是像高中老师说的那样在 以内呢?

    将振幅记为 (下同),可通过比较 和 的值来分析,具体就是看下式的值随角度 的变化情况

    是角度与其正弦值之间的相对偏差。由于角度制看起来更直观,所以按下将弧度制换成角度制

    则 的100倍(即相对偏差百分率)随振幅的角度值 的变化曲线如下。

    由图可见,在摆角不超过 时,摆角和它的正弦之间的相对偏差都不足10%。

    如果按照中学物理所说的,限制在 以内的话,偏差仅约0.12%,这个精度,那家伙,那是相当的高哇!

    但是, 与 之间的相对偏差,并不是由此近似而导致的周期的相对偏差!

    换句话说,仅仅分析角度与其正弦值之间的关系,是远远不够的!

    还有很多问题没有厘清。

    例如,单摆周期是否与振幅 有关呢?到底多大的振幅范围内,单摆的周期公式才是可靠的呢?

    要回答这些问题,我们得从运动方程入手来严格分析才可以。

    利用能量守恒的特点[1],可得单摆的运动微分方程如下

    从0积分到 ,对应的时间是 ,故得

    可以看到,当振幅 时,上述积分发散, ,这是因为当球抵达到最高处时,它处于不稳定平衡状态,它可能会一直呆在那里,所以周期是无限大。

    采用椭圆积分,上述积分的级数解为(具体过程略,参看文献[2])

    由此可见,单摆的周期与振幅有关——振幅越大,单摆的周期越大!

    上式是一个无穷级数,显然,保留的幂次项越多,单摆的周期的精度越高。

    我们来比较一下,随着幂次分别保留到2次方项、4次方项和6次方项,单摆周期相对偏差的变化情况。

    保留到2次项,相对偏差为

    保留到4次项,相对偏差为

    保留到6次项,相对偏差为

    偏差随角度α(角度制)的变化情况如下,图中蓝、红和绿三种颜色的曲线分别代表上述保留到2次项、4次项和6次项时对应的相对偏差百分率随振幅的变化情况。

    由图可见,单摆的实际周期相对周期公式给出的值偏差非常小,例如当保留到2次项时,在摆角为 时,偏差还不到1%,而摆角为 时,偏差还不到2%。

    即使摆角达到 ,单摆的周期公式的偏差还不到8%。只有当摆角达到 以上时,单摆的周期公式的偏差才超过10%。

    可见,虽然单摆的周期是随摆角增加而增加,但增加的非常缓慢,单摆周期公式在较大的摆角范围内都相当准确!

    假设我们用单摆来制作一个钟表,当它的摆角是 ,也就是来回摆动 时,一天内记录的时间偏差仅约40秒;而当摆角再减小一半,即来回摆动 时,则偏差仅为12秒。

    可见,单摆周期公式的确是一个非常精确的公式,单摆的等时性是相当可靠的!

    再回头看前面依据比较角度与正弦值之间的差距的分析结果,我们会发现,那样的分析甚至都低估了周期公式的精度。

    换句话说,单纯比较正弦值与角度之间的偏差,会使人们更倾向于将摆角限制在更小的范围,这无疑会使单摆周期公式的精度更高,更加可靠。

    由此可见,采用近似条件 是非常可靠的!

    高中学物理时,大多数人都会记住摆角不超过 这件事。达成这种共识后,老师们就可在此基础上出各种题目来考查学生了,凡是没有记住这种共识,答题可能会被判为错误。

    但实际上, 并非绝对分水岭,它只是一种普遍约定罢了!窃以为,将这种约定当作绝对正确的物理知识来学习,是不必要的。

    世界著名物理学家、1962年诺贝尔物理学奖获得者列夫·朗道(Lev Landau,1908~1968)认为,物理学研究中最重要的部分是如何做好近似。因此,学物理不要陷入数学的细节,无限地追求完美性和准确性,你会被带到沟里去。

    最后,还是回到本文的标题,如何用一句话证明你是物理系的?

    答曰:当然有很多方式啦,但最合适的就是 ,因为它足够精确!

    参考文献

    物理夜航船:直觉与猜算/(美)徐一鸿著;姬扬译,北京:世界图书出版有限公司北京分公司,2024.10. https://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum#Period_of_oscillation

    来源:物含妙理

    编辑:小咕咕

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